奇异值分解(Singular Value Decompostion, SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法,不光可以用于降维算法中的特征分解,还可以用于推荐系统,以及自然语言处理等领域,是很多机器学习算法的基石。本篇文章对SVD原理做主要讲解,在学习之前,确保你已经熟悉线性代数中的基本知识,包括特征值、特征向量、相似矩阵相关知识点。如果不太熟悉的话,推荐阅读如下两篇文章,如何理解矩阵特征值?知乎马同学的回答如何理解相似矩阵?马同学高等数学,读完之后再看本篇文章会有很大帮助。

1. 回顾特征值和特征向量

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义,如下所示。其中A是一个n×n的矩阵,x是一个n维向量,则我们说λ是矩阵A的一个特征值,x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。但是求出特征值和特征向量有什么好处呢?

$$ Ax = \lambda x $$

求出了矩阵A的n个特征值$\lambda_1 \le \lambda_2 \le ...\le \lambda_n$,以及这n个特征值所对应的特征向量${w_1,w_2,...,w_n}$,如果这n个特征值线性无关,那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示

$$ A = W \Sigma W^{-1} $$

其中Σ是以这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵,W是这n个特征向量所组成的n×n维矩阵。一般我们会把W的这n个特征向量标准化,即满足$||w_i||_2 = 1$,或者说$w_i^Tw_i = 1$,此时W的n个特征向量为标准正交基,满足$W^TW = I$,即$W^T = W^{-1}$,也就是说W为酉矩阵。这样我们的特征分解便可写作

$$ A = W \Sigma W^T $$

上面矩阵能够进行特征分解,需要满足矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵,即行和列不相同时,我们还可以进行矩阵分解吗?

2. 奇异值分解(SVD)

当矩阵A不是方阵时,可以用奇异值进行分解,假设我们的的矩阵A时一个m×n的矩阵,那么我们定义矩阵A的SVD为

$$ A = U \Sigma V^T $$

其中U时一个m×m的矩阵,Σ是一个m×n的矩阵,除了主对角线上的元素以外全为0,主对角线上的每个元素都称为奇异值,V时一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵,即满足

$$ U^TU=I \\ V^TV = I $$

下图可以形象的表示出上述SVD的定义,但我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢?

机器学习降维之奇异值分解SVD图片01.png

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法,那么会得到n×n的一个方阵$A^TA$。既然$A^TA$是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式

$$ (A^TA)v_i = \lambda_i v_i $$

这样我们就可以得到矩阵$A^TA$的n个特征值和对应的n个特征向量v。将$A^TA$的所有特征向量组成一个n×n的矩阵V,就是SVD公式里面的V矩阵,一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

同样,如果我们将A和A的转置做矩阵乘法,那么会得到m×m的一个方阵$AA^T$。因为$AA^T$是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式

$$ (AA^T)u_i = \lambda_i u_i $$

这样我们就可以得到矩阵$AA^T$的m个特征值和对应的m个特征向量u。将$AA^T$的所有特征向量组成一个m×m的矩阵U,就是SVD公式里面的U矩阵,一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V都已经求出,现在只有奇异值矩阵Σ没有求出。由于Σ除了对角线上是奇异值,其他位置都是0,因此我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。我们注意到

$$ A = U \Sigma V^T \\ AV = U \Sigma V^T V \\ AV = U \Sigma \\ Av_i = u_i \sigma_i \\ \sigma_i = \frac{Av_i}{u_i} $$

通过上式,我们便可以求出每个奇异值,进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有细讲,就是我们说$A^TA$的特征向量组成的就是SVD中的V矩阵,$AA^T$的特征向量就是SVD的U矩阵,为什么呢?下面我们做简短证明。

$$ A = U \Sigma V^T \\ A^T = V \Sigma^T U^T \\ A^TA = V\Sigma^T U^T U \Sigma V^T = V \Sigma^2V^T $$

上式证明中使用到$U^TU = I,\Sigma^T\Sigma = \Sigma^2$,可以看出$A^TA$的特征向量,的确就是SVD中的V矩阵。类似的方法同样可以得到$AA^T$的特征向量,就是SVD中的U矩阵。进一步我们还可以看出特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方,也就是特征值和奇异值满足如下关系

$$ \sigma_i = \sqrt{\lambda_i} $$

这也就是说,我们不仅可以通过用$\sigma_i = \frac{Av_i}{u_i}$来计算奇异值,也可以通过求出$A^TA$的特征值,然后取平方根得到奇异值。

3. SVD示例

下面我们通过一个简单例子来说明矩阵式如何进行奇异值分解的,假设矩阵A为

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

然后求出$A^TA$和$AA^T$

$$ A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix} $$

$$ AA^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ \end{pmatrix} $$

进而求出$A^TA$的特征值和特征向量

$$ \lambda_1 = 3; v_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} $$

$$ \lambda_2 = 1; v_2 = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} $$

求出$AA^T$的特征值和特征向量

$$ \lambda_1 = 3; u_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \end{pmatrix} $$

$$ \lambda_2 = 1; u_2 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} $$

$$ \lambda_3 = 0; u_3 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{pmatrix} $$

利用$Av_i = \sigma_i u_i, i = 1,2$求解奇异值

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} = \sigma_1 \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \end{pmatrix} \Rightarrow \sigma_1 = \sqrt{3} $$

$$ \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} = \sigma_2 \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} \Rightarrow \sigma_2 = 1 $$

当然,我们也可以利用$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$直接求出奇异值$\sqrt{3}$和1。最终得到A的奇异值分解为

$$ A = U \Sigma V^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{pmatrix} $$

4. SVD性质

对于SVD有哪些重要的性质值得我们注意呢? 对于奇异值,它跟特征分解中的特征值类似,在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列,而且奇异值的减少特别的快,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部奇异值之和的99%以上的比例。也就是说,我们可以用最大的k个奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵,即

$$ A_{m*n} = U_{m*m} \Sigma_{m*n}V^T_{n * n } \approx U_{m*k}\Sigma_{k*k}V^T_{k*n} $$

其中k要比n小很多,也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵$U_{m*k},\Sigma_{k*k},V^T_{k*n}$来表示。如下图所示,现在矩阵A只需要灰色部分的三个小矩阵就可以近似描述。

机器学习降维之奇异值分解SVD图片02.png

由于这个重要的性质,因此SVD可以用于PCA降维,用来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法,将用户和喜好对应的矩阵做特征分解,进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP之中的算法,比如潜在语义索引(LSI)。

5. SVD在PCA之中的应用

机器学习降维之主成分分析(PCA)之中,我们讲到PCA降维时,需要找到样本协方差矩阵$X^TX$最大的d个特征向量,然后用着最大的d个特征向量组成的矩阵来做低维投影降维。可以看出,在这个过程中需要先求出协方差矩阵$X^TX$,当样本数多、样本特征数也多的时候,比如10000*10000的矩阵,这个计算量是很大的。

注意到SVD也可以求出协方差矩阵$X^TX$最大的d个特征向量组成的矩阵,但是SVD有个好处,就是可以不求出协方差矩阵$X^TX$,也能通过某些算法求出右奇异矩阵$V$,比如https://arxiv.org/abs/0909.4061。也就是说,PCA算法可以不用做特征分解,而是用SVD来进行完成。

另一方面,PCA仅仅使用了SVD的右奇异矩阵,没有使用左奇异矩阵,那么左奇异矩阵有什么用呢?假如我们的样本是m×n的矩阵X,如果通过SVD找到矩阵$XX^T$最大的d个特征向量组成的m×d的矩阵U,则我们进行如下处理

$$ X'_{d*n} = U_{d*m}^TX_{m*n} $$

可以得到一个d×n的矩阵X',这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X相比,行数从m减到了d,可见对行数进行了压缩。也就是说,左奇异矩阵可以用于行数的压缩,右奇异矩阵可以用于列数压缩,即特征降维。

6. SVD算法总结

SVD作为一个很基本的算法,在很多机器学习算法中都有它的身影,特别是在现在的大数据时代,由于SVD可以实现并行化,因此更是大展身手。当然,SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强,不过这不影响它的使用。

7. 推广

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参考

刘建平Pinard-奇异值分解(SVD)原理转载降维中的应用

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