1.DNN反向传播算法简介

回顾我们前面学到的监督问题,通常会遇到这种情况,假如有$m$个训练样本,分别为$\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),...,(x_m,y_m) \}$,其中$x$为输入变量,特征维度为n_in,y为输出向量,特征维度为n_out。现在我们利用这m个训练样本来训练模型,当有测试样本$(x_{test},?)$时,需要我们能够预测出$y_{test}$向量的输出。

现在对应到我们的DNN模型之中,即输入层有n_in个神经元,输出层有n_out个神经元,再加上一些含有若干个神经元的隐含层。此时我们需要找到所有隐含层和输出层所对应的线性系数矩阵W、偏倚向量b,希望通过DNN对所有的训练样本计算后,计算结果能够等于或很接近样本输出,当有新的测试样本数据时,能够有效预测样本输出。但怎样找到合适的线形系数矩阵W和偏倚变量b呢?

回顾我们前面学习的机器学习之Logistic回归机器学习之SVM支持向量机等机器学习算法,很容易联想到,我们可以用一个合适的损失函数来度量训练样本的输出损失。然后对损失函数优化,求损失函数最小化的极值,此时对应的线性系数矩阵W,偏倚变量b便是我们希望得到的结果。深度神经网络中,损失函数优化极值求解的过程,通常是利用梯度下降法迭代完成的。当然也可以利用其他的迭代方法,比如牛顿法或拟牛顿法。梯度下降算法以前在机器学习之线形回归中有过详细介绍,有兴趣可以回顾一下。

对DNN损失函数用梯度下降法进行迭代优化求极小值的过程,便是我们的反向传播算法(Back Propagation,BP)

2.DNN反向传播算法数学推导

进行DNN反向传播算法之前,我们需要选择一个损失函数,来度量计算样本的输出和真实样本之间的损失。但训练时的计算样本输出怎么得到呢?

初始时,我们会随机选择一系列W,b,然后利用神经网络之前向传播算法中介绍到的$a^l=\sigma(z^l)=\sigma(W^la^{l-1}+b^l)$,计算输出层所对应的$a^L$,此时的$a^L$便是DNN计算样本的输出。为专注DNN反向传播算法的推导,我们选择较为简单的损失函数,为此我们使用最常见的均方差来度量损失。

即对于每个样本,我们期望能够最小化下式,其中$a^L$和$y$为特征维度的n_out的向量,$||S||_2$为S的L2范数。

$$ J(W,b,x,y)=\frac{1}{2}||a^L-y||_{2}^{2} $$

通过损失函数,我们能够用梯度下降法来迭代求解每一层的W,b。首先计算的是输出层,其中输出层的W,b满足下式

$$ a^L=\sigma(z^L)=\sigma(W^La^{L-1}+b^L) $$

$$ J(W,b,x,y)=\frac{1}{2}||a^L-y||_{2}^{2}=\frac{1}{2}||\sigma(W^La^{L-1}+b^L)-y||_2^2 $$

然后对$W^L,b^L$分别求偏导,其中符号$\odot$表示Hadamard积,对于两个维度的向量$A(a_1,a_2,a_3,...,a_n)^T$和$B(b_1,b_2,b_3,...,b_n)^T$,那么$A\odot B=(a_1b_1,a_2b_2,a_3b_3,...,a_nb_n)^T$。之所以使用Hadamard积,是因为我们不了解激活函数的形式,所以用Hadamard积来乘激活函数的导数。另外补充矩阵求导的知识点,其中$\frac{\partial AB}{\partial B}=A^T$。

$$ \frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial W^L}=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^L}\frac{\partial z^L}{\partial W^L}=(a^L-y)\odot {\sigma}' (z^L)(a^{L-1})^T $$

$$ \frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial b^L}=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^L}\frac{\partial z^L)}{\partial b^L}=(a^L-y)\odot {\sigma}' (z^L) $$

注意到在求解输出层W,b的时候,有公共部分$\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^L}$,因此我们可以把公共部分先算出来,记为

$$ \delta^L=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^L}=(a^L-y)\odot {\sigma}' (z^L) $$

现在我们已经把输出层的梯度算出来了,那么如何求解L-1、L-2…层的梯度呢?这里我们需要进一步递推,对于第$l$层的$\delta^l$可以表示为

$$ \delta^l=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^l}=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^L}\frac{\partial z^L}{\partial z^{L-1}} \frac{\partial z^{L-1}}{\partial z^{L-2}}...\frac{\partial z^{l+1}}{\partial z^{l}} $$

如果我们能够计算出第$l$层的$\delta^l$,那么对于该层的$W^l,b^l$也会很容易计算。为什么呢?注意到前向传播算法,我们有

$$ z^l=W^l a^{l-1}+b^l $$

所以根据上式我们可以很方便的计算第$l$层的$W^l,b^l$

$$ \frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial W^l}=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^l}\frac{\partial z^l}{\partial W^l}=\delta^l (a^{l-1})^T $$

$$ \frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial b^l}=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^l}\frac{\partial z^l)}{\partial b^l}=\delta ^l $$

现在问题关键便是如何求解$\delta^l$。假设我们已经得到第$l+1$层的$\delta^{l+1}$,那么如何得到第$l$层的$\delta^l$呢?我们注意到

$$ \delta^l=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^l}=\frac{\partial J(W,b,x,y)}{\partial z^{l+1}}\frac{\partial z^{l+1}}{\partial z^{l}} =\delta^{l+1} \frac{\partial z^{l+1}}{\partial z^l}= $$

$$ \frac{\partial (\delta^{l+1})^T z^{l+1}}{\partial z^l}=\frac{\partial (\delta^{l+1})^T (W^{l+1}\sigma(z^l)+ b^{l+1})}{\partial z^l}=\frac{\partial (\delta^{l+1})^T W^{l+1}\sigma(z^l)}{\partial z^l}= $$

$$ ((\delta^{l+1})^TW^{l+1})^T\odot {\sigma}' (z^l)=(W^{l+1})^T\delta ^{l+1}\odot {\sigma}' (z^l) $$

现在我们已经得到$\delta^l$的递推式,只要我们求出当前隐含层的$\delta^l$,便能够得到$W^l,b^l$。

3.DNN反向传播算法过程

梯度下降算法有批量(Batch),小批量(Mini-Batch),随机三种方式,采用哪种方式取决于我们的问题而定。为简化描述,这里采用最基本的批量梯度下降法来描述反向传播算法。

输入:总层数L、各隐含层与输出层的神经元个数、激活函数、损失函数、迭代步长α、最大迭代次数Max、停止迭代阈值ϵ、输入的m个训练样本${(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)}$。

输出:各隐含层与输出层的线性关系系数W和偏倚变量b。

  • 初始化各隐藏层与输出层的线性关系系数矩阵W和偏倚向量b为随机值。
  • $for \ iter = 1 \ to\ Max$

    • $for\ i\ = 1 \ to \ m$

      • 将$a^1$输入值设置为$x_i$
      • $for\ l=2 \ to \ L$,进行前向传播算法,计算$a^{i,l}=\sigma(z^{i,l})=\sigma(W^l a^{i,l-1}+b^l)$
      • 通过损失函数计算输出层$\delta^{i,L}$
      • $for\ l = L\ to\ 2$,进行反向传播算法,计算$\delta^{i,l}=(W^{l+1})^T\delta ^{i,l+1}\odot {\sigma}' (z^{i,l})$
    • $for \ l =2 \ to\ L$,更新第$l$层的$W^l,b^l$

      • $W^l=W^l-\alpha\sum_{i=1}^{m}\delta^{i,l}(a^{i,l-1})^T$
      • $b^l=b^l-\alpha\sum_{i=1}^{m}\delta^{i,l}$
    • 如果所有的W,b的变化值都小于停止迭代阈值ϵ,跳出循环。
  • 输出各隐含层和输出层的线形关系系数矩阵W和偏倚向量b。

通过深度神经网络之中的前向传播算法和反向传播算法的结合,我们能够利用DNN模型去解决各种分类或回归问题,但对于不同问题,效果如何呢?是否会过拟合呢?我们将在下次文章中详细介绍损失函数和激活函数的选择、正则化方面的知识点,来让深度神经网络能更精确的解决我们的问题。

参考

刘建平Pinard_深度神经网络(DNN)反向传播算法(BP)

4.推广

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